Čak iu školi, svi učenici se upoznaju sa konceptom "euklidske geometrije", čije su glavne odredbe fokusirane na nekoliko aksioma zasnovanih na geometrijskim elementima kao što su tačka, ravan, prava, kretanje. Svi oni zajedno čine ono što je odavno poznato pod pojmom "euklidski prostor".
Euklidski prostor, čija je definicija zasnovana na konceptu skalarnog množenja vektora, poseban je slučaj linearnog (afinnog) prostora koji zadovoljava niz zahtjeva. Prvo, skalarni proizvod vektora je apsolutno simetričan, odnosno vektor sa koordinatama (x;y) je kvantitativno identičan vektoru sa koordinatama (y;x), ali suprotnog smjera.
Drugo, ako se izvede skalarni proizvod vektora sa samim sobom, tada će rezultat ove akcije biti pozitivan. Jedini izuzetak će biti slučaj kada su početne i konačne koordinate ovog vektora jednake nuli: u ovom slučaju, njegov proizvod sa samim sobom će također biti jednak nuli.
Treće, skalarni proizvod je distributivan, odnosno moguće je dekomponovati jednu od njegovih koordinata u zbir dvije vrijednosti, što neće za sobom povući nikakve promjene u konačnom rezultatu skalarnog množenja vektora. Konačno, četvrto, kada se vektori pomnože istim realnim brojem, njihov skalarni proizvod će se također povećati za isti faktor.
Ako su sva ova četiri uslova ispunjena, možemo sa sigurnošću reći da imamo euklidski prostor.
Euklidski prostor sa praktične tačke gledišta može se okarakterisati sledećim konkretnim primerima:
- Najjednostavniji slučaj je prisustvo skupa vektora sa skalarnim proizvodom definisanim prema osnovnim zakonima geometrije.
- Euklidski prostor će se također dobiti ako pod vektorima podrazumijevamo određeni konačni skup realnih brojeva sa datom formulom koja opisuje njihov skalarni zbir ili proizvod.
- Poseban slučaj euklidskog prostora je takozvani nulti prostor, koji se dobija ako je skalarna dužina oba vektora jednaka nuli.
Euklidski prostor ima niz specifičnih svojstava. Prvo, skalarni faktor se može izvaditi iz zagrada i iz prvog i iz drugog faktora skalarnog proizvoda, rezultat se neće promijeniti ni na koji način. Drugo, zajedno sa distributivnošću prvog elementa skalaraproizvoda, djeluje i distributivnost drugog elementa. Osim toga, pored skalarnog zbira vektora, distributivnost se odvija i u slučaju oduzimanja vektora. Konačno, treće, kada se vektor skalarno pomnoži sa nulom, rezultat će također biti nula.
Dakle, Euklidski prostor je najvažniji geometrijski koncept koji se koristi u rješavanju problema međusobnog rasporeda vektora jedan u odnosu na drugi, a karakterizira ga koncept kao što je skalarni proizvod.
