Šta je uslovna vjerovatnoća i kako je ispravno izračunati?

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-17 05:19

Često se u životu suočavamo s potrebom da procijenimo šanse da se neki događaj dogodi. Da li se isplati kupiti srećku ili ne, kojeg će pola biti treće dijete u porodici, da li će sutra biti vedro ili će ponovo padati kiša - takvih primjera je bezbroj. U najjednostavnijem slučaju, trebate podijeliti broj povoljnih ishoda sa ukupnim brojem događaja. Ako je na lutriji 10 dobitnih listića, a ima ih ukupno 50, onda su šanse da dobijete nagradu 10/50=0,2, odnosno 20 prema 100. Ali šta ako postoji nekoliko događaja, a oni su blizu povezani? U ovom slučaju nas više neće zanimati jednostavna, već uslovna vjerovatnoća. Koja je to vrijednost i kako se može izračunati - o tome će biti riječi u našem članku.

Concept

Uslovna vjerovatnoća je šansa da se dogodi određeni događaj, s obzirom na to da se drugi povezani događaj već dogodio. Razmotrimo jednostavan primjer sabacanje novčića. Ako još uvijek nije bilo neriješenog rezultata, onda će šanse za dobijanje glave ili repa biti iste. Ali ako je pet puta zaredom novčić ležao sa podignutim grbom, onda bi bilo nelogično očekivati 6., 7., a još više 10. ponavljanje takvog ishoda. Sa svakim ponovljenim naslovom, šanse da se pojave repovi rastu i prije ili kasnije će ispasti.

Formula uslovne vjerovatnoće

Hajde da sada shvatimo kako se ova vrijednost izračunava. Označimo prvi događaj kao B, a drugi kao A. Ako su šanse za pojavu B različite od nule, tada će vrijediti sljedeća jednakost:

P (A|B)=P (AB) / P (B), gdje je:

• P (A|B) – uslovna vjerovatnoća ishoda A;
• P (AB) - vjerovatnoća zajedničkog nastupa događaja A i B;
• P (B) – vjerovatnoća događaja B.

Lagano transformirajući ovaj omjer, dobijamo P (AB)=P (A|B)P (B). A ako primijenimo metodu indukcije, onda možemo izvesti formulu proizvoda i koristiti je za proizvoljan broj događaja:

P (A₁, A₂, A₃, …A p _{)=P (A}1_|A2_…Ap _{)P(A 2}|A₃…A_p)P (A 3_|A 4_…Ap_{)… R (A}p-1 |A_p)R (A_p).

Vježba

Da bismo lakše razumjeli kako se izračunava uslovna vjerovatnoća događaja, pogledajmo nekoliko primjera. Pretpostavimo da postoji vaza koja sadrži 8 čokolada i 7 menta. One su iste veličine i nasumične.dva od njih se izvlače uzastopno. Koje su šanse da će oboje biti čokoladni? Hajde da uvedemo notaciju. Neka rezultat A znači da je prvi bombon čokolada, rezultat B je drugi čokoladni slatkiš. Tada dobijate sljedeće:

P (A)=P (B)=8 / 15, P (A|B)=P (B|A)=7 / 14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27

Razmotrimo još jedan slučaj. Pretpostavimo da postoji porodica sa dvoje djece i znamo da je barem jedno dijete djevojčica.

Kolika je uslovna vjerovatnoća da ovi roditelji još nemaju dječake? Kao iu prethodnom slučaju, počinjemo s notacijom. Neka je P(B) verovatnoća da u porodici postoji bar jedna devojčica, P(A|B) verovatnoća da je i drugo dete devojčica, P(AB) verovatnoća da su u porodici dve devojčice. porodica. Sada uradimo proračune. Ukupno mogu postojati 4 različite kombinacije pola djece, a u ovom slučaju samo u jednom slučaju (kada su u porodici dva dječaka) među djecom neće biti djevojčice. Stoga je vjerovatnoća P (B)=3/4, a P (AB)=1/4. Zatim, slijedeći našu formulu, dobijamo:

P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.

Rezultat se može protumačiti na sljedeći način: ako ne bismo znali spol jednog od djece, onda bi šanse za dvije djevojčice bile 25 naspram 100. Ali pošto znamo da je jedno dijete djevojčica, vjerovatnoća da porodica dječaka nema, povećava se na jednu trećinu.