Jednostavno i ukratko rečeno, opseg su vrijednosti koje svaka funkcija može uzeti. Da biste u potpunosti istražili ovu temu, morate postepeno rastavljati sljedeće točke i koncepte. Prvo, hajde da shvatimo definiciju funkcije i istoriju njenog pojavljivanja.
Šta je funkcija
Sve egzaktne nauke pružaju nam mnogo primjera gdje dotične varijable na neki način zavise jedna od druge. Na primjer, gustoća tvari je u potpunosti određena njenom masom i volumenom. Pritisak idealnog gasa pri konstantnoj zapremini varira sa temperaturom. Ovi primjeri su ujedinjeni činjenicom da sve formule imaju zavisnosti između varijabli, koje se nazivaju funkcionalne.
Funkcija je koncept koji izražava zavisnost jedne veličine od druge. Ima oblik y=f(x), gdje je y vrijednost funkcije, koja ovisi o x - argumentu. Dakle, možemo reći da je y varijabla koja ovisi o vrijednosti x. Vrijednosti koje x može uzeti zajedno sudomenu date funkcije (D(y) ili D(f)), te prema tome, vrijednosti y čine skup vrijednosti funkcije (E(f) ili E(y)). Postoje slučajevi kada je funkcija data nekom formulom. U ovom slučaju, domen definicije se sastoji od vrijednosti takvih varijabli, u kojima notacija sa formulom ima smisla.
Postoje podudarne ili jednake karakteristike. To su dvije funkcije koje imaju jednak raspon valjanih vrijednosti, kao i vrijednosti same funkcije jednake su za sve iste argumente.
Mnogi zakoni egzaktnih nauka nazivaju se slično situacijama u stvarnom životu. Postoji tako zanimljiva činjenica i o matematičkoj funkciji. Postoji teorema o granici funkcije "u sendviču" između dva druga koja imaju istu granicu - o dva policajca. Objašnjavaju to ovako: pošto dva policajca vode zatvorenika u ćeliju između sebe, kriminalac je primoran da ode tamo i jednostavno nema izbora.
Historijska referenca
Koncept funkcije nije odmah postao konačan i precizan, već je prošao dug put postajanja. Prvo, Fermaov Uvod i proučavanje ravnih i čvrstih mesta, objavljen krajem 17. veka, navodi sledeće:
Kad god postoje dvije nepoznanice u konačnoj jednačini, ima mjesta.
Uopšteno govoreći, ovaj rad govori o funkcionalnoj zavisnosti i njenoj materijalnoj slici (mesto=linija).
Također, otprilike u isto vrijeme, Rene Descartes je proučavao linije prema njihovim jednačinama u svom djelu "Geometrija" (1637), gdje je opet činjenicazavisnost dvije veličine jedna od druge.
Samo pominjanje pojma "funkcija" pojavilo se tek krajem 17. vijeka kod Leibniza, ali ne u njegovoj modernoj interpretaciji. U svom naučnom radu smatrao je da su funkcija različiti segmenti povezani sa krivom linijom.
Ali već u 18. veku, funkcija je počela da se pravilnije definiše. Bernoulli je napisao sljedeće:
Funkcija je vrijednost sastavljena od varijable i konstante.
Eulerove misli su također bile bliske ovome:
Funkcija varijabilne količine je analitički izraz sastavljen na neki način od ove varijabilne količine i brojeva ili konstantnih količina.
Kada neke količine zavise od drugih na način da kada se potonje mijenjaju, same se mijenjaju, tada se prve nazivaju funkcijama drugih.
Grafikon funkcije
Grafikon funkcije sastoji se od svih tačaka koje pripadaju osi koordinatne ravni, čije apscise uzimaju vrijednosti argumenta, a vrijednosti funkcije u tim tačkama su ordinate.
Opseg funkcije je direktno povezan sa njenim grafom, jer ako je bilo koja apscisa isključena opsegom važećih vrijednosti, tada morate nacrtati prazne tačke na grafu ili nacrtati graf u određenim granicama. Na primjer, ako se uzme graf oblika y=tgx, tada je vrijednost x=pi / 2 + pin, n∉R isključena iz područja definicije, u slučaju tangentnog grafa, potrebno je nacrtativertikalne linije paralelne sa y-osom (one se nazivaju asimptote) koje prolaze kroz tačke ±pi/2.
Svako temeljno i pažljivo proučavanje funkcija čini veliku granu matematike zvanu račun. U osnovnoj matematici, elementarna pitanja o funkcijama se također dotiču, na primjer, pravljenje jednostavnog grafa i uspostavljanje nekih osnovnih svojstava funkcije.
Koju funkciju možete postaviti na
Funkcija može:
- budi formula, na primjer: y=cos x;
- postavlja bilo koja tabela parova oblika (x; y);
- odmah imajte grafički prikaz, za to parovi iz prethodne stavke obrasca (x; y) moraju biti prikazani na koordinatnoj osi.
Budite oprezni kada rješavate neke probleme visokog nivoa, gotovo svaki izraz se može smatrati funkcijom u odnosu na neki argument za vrijednost funkcije y (x). Pronalaženje domena definicije u takvim zadacima može biti ključ rješenja.
Koji je opseg?
Prva stvar koju trebate znati o funkciji da biste je proučili ili izgradili je njen opseg. Grafikon treba da sadrži samo one tačke u kojima funkcija može postojati. Domen definicije (x) se također može nazvati domenom prihvatljivih vrijednosti (skraćeno ODZ).
Da biste pravilno i brzo napravili graf funkcija, morate znati domenu ove funkcije, jer od toga zavisi izgled grafa i vjernostizgradnja. Na primjer, da biste konstruirali funkciju y=√x, morate znati da x može uzeti samo pozitivne vrijednosti. Stoga se gradi samo u prvom koordinatnom kvadrantu.
Obim definicije na primjeru elementarnih funkcija
U svom arsenalu, matematika ima mali broj jednostavnih, definisanih funkcija. Imaju ograničen opseg. Rješenje ovog problema neće uzrokovati poteškoće čak i ako pred sobom imate takozvanu složenu funkciju. To je samo kombinacija nekoliko jednostavnih.
- Dakle, funkcija može biti razlomka, na primjer: f(x)=1/x. Dakle, varijabla (naš argument) je u nazivniku, a svi znaju da nazivnik razlomka ne može biti jednak 0, stoga argument može uzeti bilo koju vrijednost osim 0. Zapis će izgledati ovako: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Ako postoji neki izraz s promjenljivom u nazivniku, tada trebate riješiti jednadžbu za x i isključiti vrijednosti koje pretvaraju nazivnik u 0. Za šematski prikaz dovoljno je 5 dobro odabranih tačaka. Grafikon ove funkcije bit će hiperbola sa vertikalnom asimptotom koja prolazi kroz tačku (0; 0) i, u kombinaciji, osi Ox i Oy. Ako se grafička slika ukršta sa asimptotama, tada će se takva greška smatrati najgrublijom.
- Ali koji je domen korijena? Domen funkcije sa radikalnim izrazom (f(x)=√(2x + 5)), koji sadrži promenljivu, takođe ima svoje nijanse (odnosi se samo na koren parnog stepena). Asaritmetički korijen je pozitivan izraz ili jednak 0, tada korijenski izraz mora biti veći ili jednak 0, rješavamo sljedeću nejednakost: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, dakle, domen ovog funkcija: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Graf je jedna od grana parabole, rotirana za 90 stepeni, koja se nalazi u prvom koordinatnom kvadrantu.
- Ako imamo posla sa logaritamskom funkcijom, treba da zapamtite da postoji ograničenje u pogledu osnove logaritma i izraza pod znakom logaritma, u ovom slučaju možete pronaći domen definicije kao slijedi. Imamo funkciju: y=loga(x + 7), rješavamo nejednakost: x + 7 > 0, x > -7. Tada je domen ove funkcije D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Također obratite pažnju na trigonometrijske funkcije oblika y=tgx i y=ctgx, budući da je y=tgx=sinx/cos/x i y=ctgx=cosx/sinx, stoga morate isključiti vrijednosti pri kojoj imenilac može biti jednak nuli. Ako ste upoznati s grafovima trigonometrijskih funkcija, razumijevanje njihove domene je jednostavan zadatak.
Kako se radi sa složenim funkcijama drugačije
Zapamtite nekoliko osnovnih pravila. Ako radimo sa složenom funkcijom, onda nema potrebe rješavati nešto, pojednostavljivati, zbrajati razlomke, svoditi na najmanji zajednički nazivnik i vaditi korijene. Moramo istražiti ovu funkciju jer različite (čak i identične) operacije mogu promijeniti opseg funkcije, što rezultira netačnim odgovorom.
Na primjer, imamo složenu funkciju: y=(x2 - 4)/(x - 2). Ne možemo smanjiti brojilac i nazivnik razlomka, jer je to moguće samo ako je x ≠ 2, a to je zadatak pronalaženja domene funkcije, tako da ne činimo brojilac i ne rješavamo nijednu nejednačinu, jer vrijednost na kojoj funkcija ne postoji, vidljiva golim okom. U ovom slučaju, x ne može poprimiti vrijednost 2, pošto nazivnik ne može ići na 0, notacija će izgledati ovako: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Recipročne funkcije
Za početak, vrijedi reći da funkcija može postati reverzibilna samo u intervalu povećanja ili smanjenja. Da biste pronašli inverznu funkciju, trebate zamijeniti x i y u zapisu i riješiti jednačinu za x. Domeni definicije i domeni vrijednosti su jednostavno obrnuti.
Glavni uslov za reverzibilnost je monoton interval funkcije, ako funkcija ima intervale povećanja i smanjenja, tada je moguće sastaviti inverznu funkciju bilo kojeg intervala (rastuće ili opadajuće).
Na primjer, za eksponencijalnu funkciju y=ex recipročna je prirodna logaritamska funkcija y=logea=lna. Za trigonometriju, to će biti funkcije s prefiksom arc-: y=sinx i y=arcsinx i tako dalje. Grafovi će biti postavljeni simetrično u odnosu na neke ose ili asimptote.
Zaključci
Traženje raspona prihvatljivih vrijednosti svodi se na ispitivanje grafa funkcija (ako postoji),evidentiranje i rješavanje potrebnog specifičnog sistema nejednakosti.
Dakle, ovaj članak vam je pomogao da shvatite čemu služi opseg funkcije i kako ga pronaći. Nadamo se da će vam pomoći da dobro razumijete kurs osnovne škole.
