Fourierova transformacija je transformacija koja upoređuje funkcije neke realne varijable. Ova operacija se izvodi svaki put kada percipiramo različite zvukove. Uho vrši automatsku "kalkulaciju", koju je naša svijest sposobna izvršiti tek nakon proučavanja odgovarajućeg dijela više matematike. Ljudski organ sluha gradi transformaciju, usled koje se zvuk (oscilatorno kretanje uslovnih čestica u elastičnom mediju koje se šire u talasnom obliku u čvrstom, tekućem ili gasovitom mediju) dobija u obliku spektra uzastopnih vrednosti. nivoa jačine tonova različitih visina. Nakon toga, mozak pretvara ovu informaciju u zvuk poznat svima.
Matematička Fourierova transformacija
Transformacija zvučnih talasa ili drugih oscilatornih procesa (od svetlosnog zračenja i okeanske plime do ciklusa zvezdane ili solarne aktivnosti) se takođe može izvesti pomoću matematičkih metoda. Dakle, korištenjem ovih tehnika moguće je dekomponirati funkcije predstavljanjem oscilatornih procesa kao skup sinusoidnih komponenti, odnosno valovitih krivulja kojeići od niskog ka visokom, pa nazad na nisko, kao morski val. Fourierova transformacija - transformacija čija funkcija opisuje fazu ili amplitudu svake sinusoide koja odgovara određenoj frekvenciji. Faza je početna tačka krive, a amplituda njena visina.
Fourierova transformacija (primjeri su prikazani na fotografiji) je vrlo moćan alat koji se koristi u raznim oblastima nauke. U nekim slučajevima se koristi kao sredstvo za rješavanje prilično složenih jednadžbi koje opisuju dinamičke procese koji se javljaju pod utjecajem svjetlosti, toplinske ili električne energije. U drugim slučajevima, omogućava vam da odredite regularne komponente u složenim oscilatornim signalima, zahvaljujući kojima možete ispravno interpretirati različita eksperimentalna zapažanja u hemiji, medicini i astronomiji.
Historijska pozadina
Prva osoba koja je primijenila ovu metodu bio je francuski matematičar Jean Baptiste Fourier. Transformacija, kasnije nazvana po njemu, prvobitno je korištena za opisivanje mehanizma provođenja topline. Fourier je cijeli svoj odrasli život proveo proučavajući svojstva topline. Dao je ogroman doprinos matematičkoj teoriji određivanja korijena algebarskih jednačina. Fourier je bio profesor analize na Politehničkoj školi, sekretar Instituta za egiptologiju, bio je u carskoj službi, gdje se istakao prilikom izgradnje puta za Torino (pod njegovim vodstvom, više od 80 hiljada kvadratnih kilometara malarijemočvare). Međutim, sva ova energična aktivnost nije spriječila naučnika da se bavi matematičkom analizom. Godine 1802. izveo je jednačinu koja opisuje širenje toplote u čvrstim materijama. Godine 1807. naučnik je otkrio metodu za rješavanje ove jednačine, koja je nazvana "Fourierova transformacija".
Analiza toplinske provodljivosti
Naučnik je primenio matematičku metodu da opiše mehanizam provođenja toplote. Zgodan primjer, u kojem nema poteškoća u proračunu, je širenje toplinske energije kroz željezni prsten uronjen jednim dijelom u vatru. Da bi izvršio eksperimente, Fourier je zagrijao dio ovog prstena usijan i zakopao ga u fini pijesak. Nakon toga je izmjerio temperaturu na suprotnoj strani. U početku je distribucija toplote nepravilna: dio prstena je hladan, a drugi vruć; može se uočiti oštar temperaturni gradijent između ovih zona. Međutim, u procesu širenja topline po cijeloj površini metala, postaje ravnomjerniji. Dakle, ubrzo ovaj proces dobija oblik sinusoida. U početku, graf se glatko povećava i također glatko smanjuje, točno prema zakonima promjene kosinusne ili sinusne funkcije. Talas se postepeno smanjuje i kao rezultat toga temperatura postaje ista na cijeloj površini prstena.
Autor ove metode je sugerirao da se početna nepravilna raspodjela može razložiti na nekoliko elementarnih sinusoida. Svaki od njih će imati svoju fazu (početnu poziciju) i svoju temperaturumaksimum. Štaviše, svaka takva komponenta se mijenja od minimuma do maksimuma i natrag na potpunoj revoluciji oko prstena cijeli broj puta. Komponenta s jednim periodom nazivala se osnovnim harmonikom, a vrijednost sa dva ili više perioda nazivala se drugim, i tako dalje. Dakle, matematička funkcija koja opisuje temperaturni maksimum, fazu ili položaj naziva se Fourierova transformacija funkcije distribucije. Naučnik je sveo jednu komponentu, koju je teško matematički opisati, na alat lak za upotrebu - kosinus i sinusni niz, koji se zbrajaju da daju originalnu distribuciju.
Suština analize
Primjenjujući ovu analizu na transformaciju širenja topline kroz čvrsti objekt koji ima prstenasti oblik, matematičar je zaključio da bi povećanje perioda sinusoidne komponente dovelo do njenog brzog raspadanja. Ovo se jasno vidi u osnovnom i drugom harmoniku. U potonjem, temperatura dostiže maksimalnu i minimalnu vrijednost dva puta u jednom prolazu, a u prvom samo jednom. Ispostavilo se da će udaljenost koju toplina pokriva u drugom harmoniku biti upola manja u osnovnom. Osim toga, nagib u drugom će također biti dvostruko strmiji nego u prvom. Stoga, budući da intenzivniji toplinski tok putuje dvostruko kraću udaljenost, ovaj harmonik će se raspasti četiri puta brže od osnovnog kao funkcija vremena. U budućnosti će ovaj proces biti još brži. Matematičar je vjerovao da ova metoda omogućava izračunavanje procesa početne raspodjele temperature tokom vremena.
Izazov savremenicima
Algoritam Fourierove transformacije doveo je u pitanje teorijske osnove matematike tog vremena. Početkom devetnaestog stoljeća većina istaknutih naučnika, uključujući Lagrangea, Laplacea, Poissona, Legendrea i Biota, nisu prihvatili njegovu tvrdnju da se početna raspodjela temperature razlaže na komponente u obliku fundamentalnog harmonika i viših frekvencija. Međutim, Akademija nauka nije mogla zanemariti rezultate do kojih je došao matematičar, te mu je dodijelila nagradu za teoriju zakona provođenja topline, kao i upoređivanje sa fizičkim eksperimentima. U Fourierovom pristupu, glavna zamjerka je bila činjenica da je diskontinuirana funkcija predstavljena zbirom nekoliko sinusoidnih funkcija koje su kontinuirane. Na kraju krajeva, oni opisuju rastrgane ravne i zakrivljene linije. Savremenici naučnika nikada se nisu susreli sa sličnom situacijom, kada su diskontinuirane funkcije bile opisane kombinacijom kontinuiranih, kao što su kvadratne, linearne, sinusoidne ili eksponencijalne. U slučaju da je matematičar bio u pravu u svojim izjavama, onda zbir beskonačnog niza trigonometrijske funkcije treba svesti na tačan postupni. Tada se takva izjava činila apsurdnom. Međutim, uprkos sumnjama, neki istraživači (npr. Claude Navier, Sophie Germain) proširili su obim istraživanja i odveli ih dalje od analize distribucije toplotne energije. U međuvremenu, matematičari su nastavili da se bore s pitanjem da li se zbir nekoliko sinusoidnih funkcija može svesti na tačan prikaz jedne diskontinuirane.
200 godina staristorija
Ova teorija je evoluirala tokom dva veka, danas je konačno formirana. Uz njegovu pomoć, prostorne ili vremenske funkcije se dijele na sinusne komponente, koje imaju vlastitu frekvenciju, fazu i amplitudu. Ova transformacija je dobivena pomoću dvije različite matematičke metode. Prvi od njih se koristi kada je originalna funkcija kontinuirana, a drugi - kada je predstavljena skupom diskretnih pojedinačnih promjena. Ako se izraz dobije iz vrijednosti koje su definirane diskretnim intervalima, onda se može podijeliti na nekoliko sinusoidnih izraza s diskretnim frekvencijama - od najniže, a zatim dvaput, tri puta i tako dalje većom od glavne. Takav zbir naziva se Fourierov red. Ako se početnom izrazu da vrijednost za svaki realni broj, onda se može razložiti na nekoliko sinusoida svih mogućih frekvencija. Obično se naziva Fourierov integral, a rješenje podrazumijeva integralne transformacije funkcije. Bez obzira na to kako je konverzija postignuta, za svaku frekvenciju moraju biti specificirana dva broja: amplituda i frekvencija. Ove vrijednosti su izražene kao jedan kompleksni broj. Teorija izraza kompleksnih varijabli, zajedno sa Fourierovom transformacijom, omogućila je izvođenje proračuna u projektovanju različitih električnih kola, analizu mehaničkih vibracija, proučavanje mehanizma širenja talasa i drugo.
Fourierova transformacija danas
Danas se proučavanje ovog procesa uglavnom svodi na pronalaženje efektivnogmetode prijelaza iz funkcije u njen transformirani oblik i obrnuto. Ovo rješenje se naziva direktna i inverzna Fourierova transformacija. Šta to znači? Da bi se odredio integral i proizvela direktna Fourierova transformacija, mogu se koristiti matematičke ili analitičke metode. Unatoč činjenici da se javljaju određene poteškoće pri njihovom korištenju u praksi, većina integrala je već pronađena i uključena u matematičke priručnike. Numeričke metode se mogu koristiti za izračunavanje izraza čiji je oblik zasnovan na eksperimentalnim podacima, ili funkcija čiji integrali nisu dostupni u tabelama i teško ih je predstaviti u analitičkom obliku.
Prije pojave kompjutera, proračuni ovakvih transformacija bili su vrlo zamorni, zahtijevali su ručno izvršavanje velikog broja aritmetičkih operacija, koje su ovisile o broju tačaka koje opisuju vlasnu funkciju. Da bi se olakšali proračuni, danas postoje posebni programi koji su omogućili implementaciju novih analitičkih metoda. Tako su 1965. James Cooley i John Tukey kreirali softver koji je postao poznat kao "Fast Fourier Transform". Omogućava vam da uštedite vrijeme za proračune smanjenjem broja množenja u analizi krive. Metoda brze Fourierove transformacije zasniva se na podjeli krive na veliki broj uniformnih vrijednosti uzorka. Shodno tome, broj množenja se prepolovi sa istim smanjenjem broja bodova.
Primjena Fourierove transformacije
Ovoproces se koristi u raznim oblastima nauke: u teoriji brojeva, fizici, obradi signala, kombinatorici, teoriji vjerovatnoće, kriptografiji, statistici, okeanologiji, optici, akustici, geometriji i dr. Bogate mogućnosti njegove primjene zasnivaju se na nizu korisnih svojstava, koje se nazivaju "svojstva Fourierove transformacije". Razmotrite ih.
1. Transformacija funkcije je linearni operator i, uz odgovarajuću normalizaciju, je unitarna. Ovo svojstvo je poznato kao Parsevalova teorema, ili općenito Plancherelova teorema, ili Pontryaginov dualizam.
2. Transformacija je reverzibilna. Štaviše, obrnuti rezultat ima skoro isti oblik kao kod direktnog rješenja.
3. Sinusoidni bazni izrazi su vlastite diferencirane funkcije. To znači da takav prikaz mijenja linearne jednačine sa konstantnim koeficijentom u obične algebarske.
4. Prema teoremi "konvolucije", ovaj proces pretvara složenu operaciju u elementarno množenje.
5. Diskretna Fourierova transformacija se može brzo izračunati na računaru korištenjem "brze" metode.
Varieti Fourierove transformacije
1. Najčešće se ovaj termin koristi za označavanje kontinuirane transformacije koja daje bilo koji kvadrat integribilan izraz kao zbir složenih eksponencijalnih izraza sa specifičnim ugaonim frekvencijama i amplitudama. Ova vrsta ima nekoliko različitih oblika, koji mogurazlikuju po konstantnim koeficijentima. Kontinuirana metoda uključuje tablicu konverzije, koja se može naći u matematičkim referencama. Generalizovani slučaj je frakciona transformacija, pomoću koje se dati proces može podići na traženu realnu snagu.
2. Kontinuirani način rada je generalizacija rane tehnike Fourierovih redova definiranih za različite periodične funkcije ili izraze koji postoje u ograničenom području i predstavljaju ih kao niz sinusoida.
3. Diskretna Fourierova transformacija. Ova metoda se koristi u kompjuterskoj tehnologiji za naučne proračune i za digitalnu obradu signala. Za izvođenje ove vrste proračuna potrebno je imati funkcije koje definiraju pojedinačne točke, periodične ili ograničene oblasti na diskretnom skupu umjesto kontinuiranih Fourierovih integrala. Transformacija signala u ovom slučaju je predstavljena kao zbir sinusoida. U isto vrijeme, korištenje “brze” metode omogućava primjenu diskretnih rješenja na sve praktične probleme.
4. Prozorska Fourierova transformacija je generalizirani oblik klasične metode. Za razliku od standardnog rješenja, kada se koristi spektar signala, koji se uzima u punom opsegu postojanja date varijable, ovdje je od posebnog interesa samo lokalna raspodjela frekvencija, pod uslovom da je originalna varijabla (vrijeme) sačuvana.
5. Dvodimenzionalna Fourierova transformacija. Ova metoda se koristi za rad sa dvodimenzionalnim nizovima podataka. U ovom slučaju, prvo se transformacija izvodi u jednom smjeru, a zatim uostalo.
Zaključak
Danas je Fourierova metoda čvrsto ukorijenjena u različitim poljima nauke. Na primjer, 1962. godine otkriven je oblik dvostruke spirale DNK korištenjem Fourierove analize u kombinaciji s difrakcijom rendgenskih zraka. Potonji su bili fokusirani na kristale DNK vlakana, pa je slika dobivena difrakcijom zračenja snimljena na film. Ova slika je dala informaciju o vrijednosti amplitude kada se koristi Fourierova transformacija za datu kristalnu strukturu. Fazni podaci dobijeni su poređenjem difrakcione karte DNK sa mapama dobijenim analizom sličnih hemijskih struktura. Kao rezultat toga, biolozi su obnovili kristalnu strukturu - originalnu funkciju.
Fourierove transformacije igraju veliku ulogu u proučavanju svemira, fizike poluvodiča i plazme, mikrovalne akustike, oceanografije, radara, seizmologije i medicinskih istraživanja.
