Kada proučavaju mehaničko kretanje u fizici, nakon upoznavanja sa ujednačenim i ravnomjerno ubrzanim kretanjem objekata, pristupaju razmatranju kretanja tijela pod uglom prema horizontu. U ovom članku ćemo detaljnije proučiti ovo pitanje.
Koliko je kretanje tijela pod uglom prema horizontu?
Ova vrsta kretanja objekta se dešava kada osoba baci kamen u zrak, top ispali topovsku loptu ili golman izbije fudbalsku loptu iz gola. Sve takve slučajeve razmatra nauka balistike.
Zapaženi tip kretanja objekata u zraku odvija se duž paraboličke putanje. U opštem slučaju, izvođenje odgovarajućih proračuna nije lak zadatak, jer je potrebno uzeti u obzir otpor vazduha, rotaciju tela tokom leta, rotaciju Zemlje oko svoje ose i neke druge faktore.
U ovom članku nećemo uzeti u obzir sve ove faktore, već ćemo to pitanje razmotriti sa čisto teorijske tačke gledišta. Međutim, rezultirajuće formule su prilično dobreopišite putanje tijela koja se kreću na kratkim udaljenostima.
Dobivanje formula za razmatrani tip kretanja
Izvedemo formule za kretanje tijela prema horizontu pod uglom. U ovom slučaju ćemo uzeti u obzir samo jednu jedinu silu koja djeluje na leteći objekt - gravitaciju. Pošto djeluje okomito naniže (paralelno s y-osi i naspram nje), onda, s obzirom na horizontalnu i vertikalnu komponentu kretanja, možemo reći da će prva imati karakter ravnomjernog pravolinijskog kretanja. A drugi - jednako sporo (jednako ubrzano) pravolinijsko kretanje s ubrzanjem g. Odnosno, komponente brzine kroz vrijednost v0 (početna brzina) i θ (ugao smjera kretanja tijela) biće zapisane na sljedeći način:
vx=v0cos(θ)
vy=v0sin(θ)-gt
Prva formula (za vx) je uvijek važeća. Što se tiče drugog, ovdje treba napomenuti jednu nijansu: znak minus ispred proizvoda gt stavlja se samo ako je vertikalna komponenta v0sin(θ) usmjerena prema gore. U većini slučajeva to se dešava, međutim, ako bacite tijelo sa visine, usmjeravajući ga prema dolje, tada u izrazu za vy trebate staviti znak "+" prije g t.
Integrirajući formule za komponente brzine tokom vremena, i uzimajući u obzir početnu visinu h leta tijela, dobijamo jednadžbe za koordinate:
x=v0cos(θ)t
y=h+v0sin(θ)t-gt2/2
Izračunajte domet leta
Kada se u fizici razmatra kretanje tijela prema horizontu pod uglom korisnim za praktičnu upotrebu, ispada da se izračuna domet leta. Hajde da to definišemo.
Budući da je ovo kretanje ujednačeno kretanje bez ubrzanja, dovoljno je u njega zamijeniti vrijeme leta i dobiti željeni rezultat. Domet leta je određen isključivo kretanjem duž x-ose (paralelno s horizontom).
Vrijeme kada je tijelo u zraku može se izračunati izjednačavanjem y koordinate sa nulom. Imamo:
0=h+v0sin(θ)t-gt2/2
Ova kvadratna jednadžba se rješava preko diskriminanta, dobijamo:
D=b2- 4ac=v02sin 2(θ) - 4(-g/2)h=v02 sin2(θ) + 2gh, t=(-b±√D)/(2a)=(-v0sin(θ)±√(v0 2sin2(θ) + 2gh))/(-2g/2)=
=(v0sin(θ)+√(v02 sin2(θ) + 2gh))/g.
U posljednjem izrazu, jedan korijen sa predznakom minus se odbacuje, zbog njegove beznačajne fizičke vrijednosti. Zamjenom vremena leta t u izraz za x, dobijamo raspon leta l:
l=x=v0cos(θ)(v0sin(θ)+√(v 02sin2(θ) + 2gh))/g.
Najlakši način za analizu ovog izraza je ako je početna visinaje jednako nuli (h=0), onda dobijamo jednostavnu formulu:
l=v 02sin(2θ)/g
Ovaj izraz pokazuje da se maksimalni domet leta može postići ako se tijelo baci pod uglom od 45o(sin(245o )=m1).
Maksimalna visina tijela
Osim dometa leta, korisno je pronaći i visinu iznad tla na koju tijelo može da se podigne. Budući da je ova vrsta kretanja opisana parabolom, čije su grane usmjerene prema dolje, maksimalna visina podizanja je njen ekstrem. Potonji se izračunava rješavanjem jednadžbe za derivaciju u odnosu na t za y:
dy/dt=d(h+v0sin(θ)t-gt2/2)/dt=v0sin(θ)-gt=0=>
=>t=v0sin(θ)/g.
Zamijenite ovaj put u jednadžbu za y, dobićemo:
y=h+v0sin(θ)v0sin(θ)/g-g(v 0sin(θ)/g)2/2=h + v0 2sin2(θ)/(2g).
Ovaj izraz pokazuje da će se tijelo podići na maksimalnu visinu ako se baci okomito prema gore (sin2(90o)=1).
